[이것이 코딩테스트다] 22일차 - 최단경로 알고리즘 | 다익스트라 알고리즘, 플로이드 워셜 알고리즘

본문은 [이것이 취업을 위한 코딩테스트다 - 나동빈] 책을 공부하고 작성한 글입니다.

오늘은 아래 첨부된 저자의 동영상 강의를 듣고 글을 작성하였습니다

Chapter 9 최단경로 알고리즘

최단 경로 : 말 그대로 가장 짧은 경로를 찾는 알고리즘, "길 찾기" 문제라고도 불린다

 

문제 상황 유형

1. 한 지점에서 다른 한 지점까지의 최단경로
2. 한 지점에서 다른 모든 지점까지의 최단경로
3. 모든 지점에서 다른 모든 지점까지의 최단경로

 

각 지점은 그래프에서 노드로 표현

각 지점을 연결하는 도로는 그래프에서 간선으로 표현

 

다익스트라 최단 경로 알고리즘과 플로이드 워셜 알고리즘이 많이 등장 하는 유형이다

 

다익스트라 최단 경로 알고리즘

• 특정한 노드에서 출발하여 다른 모든 노드로 가는 최단 경로를 계산
• 음의 간선이 없을때 정상적으로 동작 -> 실제 상황에서는 음의 간선이 없어 최단 경로를 검색하는데 사용
• 그리디 알고리즘으로 분류 (매 상황에서 가장 비용이 적은 노드를 선택해 임의의 과정을 반복하기때문)

다익스트라 알고리즘 동작 과정

1. 출발 노드를 설정      2. 최단 거리 테이블을 초기화 (자기 자신의 노드 0, 나머지 INF)      3. 방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리가 가장 짧은 노드를 선택      4. 해당 노드를 거쳐 다른 노드로 가는 비용을 계산하여 최단 거리 테이블을 갱신      5. 3,4 반복

알고리즘 동작 과정에서 최단거리 테이블은 각 노드에 대한 현재까지의 최단거리 정보를 가지고있다

더 짧은 경로를 찾으면 갱신

 

다익스트라 알고리즘 특징

• 단계를 거치며 한 번 처리된 노드의 최단 거리는 고정되어 더 이상 바뀌지 않는다
• 알고리즘 동작 이후 테이블에 각 노드까지의 최단거리 정보가 저장되어있음 (완벽한 형태의 최단거리 정보를 저장하려면 소스코드 추가적인 소스코드 작성이 필요)
• 시간 복잡도 - O(V^2) (V = 노드 개수)
• 노드의 개수가 5,000개 이하라면 다익스트라 사용 가능 
  • 노드가 10,000개가 넘어가는 경우 시간 초과 판정이 나올 수 있음

 

다익스트라 알고리즘 소스코드

import sys

input = sys.stdin.readline
INF = int(1e9) # 무한을 의미하는 값으로 10억을 설정

#노드의 개수, 간선의 개수를 입력받기
n, m = map(int, input().split())

#시작 노드 번호를 입력받기
start = int(input())

#각 노드에 연결되어 있는 노드에 대한 정보를 담는 리스트를 만들기
graph = [[] for i in range(n + 1)]

#방문한 적이 있는지 체크하는 목적의 리스트 만들기
visted = [False] * (n + 1)

#최단 거리 테이블을 모두 무한으로 초기화
distance = [INF] * (n +1)

#모든 간선 정보를 입력받기
for _ in range(m):
  a, b, c = map(int, input().split())
  # a번 노드에서 b번 노드로 가는 비용이 c라는 의미
  graph[a].append((b, c))

#방문하지 않은 노드 중에서, 가장 최단 거리가 짧은 노드의 번호를 반환
def get_smallest_node():
  min_value = INF
  index = 0 # 가장 최단 거리가 짧은 노드의 번호를 반환
  for i in range(1, n + 1):
    if distance[i] < min_value and not visted[i]:
      min_value = distance[i]
      index = i
  return index

def dijkstra(strat):
  #시작 노드에 대해서 초기화
  distance[start] = 0
  visted[start] = True
  for j in graph[start]:
    distance[j[0]] = j[1]
  #시작 노드를 제외한 전체 n-1개의 노드에 대해 반복
  for i in range(n - 1):
    #현재 최단 거리가 가장 짧은 노드를 꺼내서, 방문 처리
    now = get_smallest_node()
    visted[now] = True
    #현재 노드와 연결된 다른 노드를 확인
    for j in graph[now]:
      cost = distance[now] + j[1]
      #현재 노드를 거쳐서 다른 노드로 이동하는 거리가 더 짧은 경우
      if cost < distance[j[0]]:
        distance[j[0]] = cost

dijkstra(start)

#모든 노드로 가기 위한 최단 거리를 출력
for i in range(1, n+1):
  # 도달 할 수 없는 경우, 무한(INFINITY)이라고 출력
    if distance[i] == INF:
      print("INFINITY")

    #도달할 수 있는 경우 거리를 출력
    else:
      print(distance[i])

다익스트라 최단 경로 알고리즘 - 우선순위 큐 사용

우선순위 큐? 

[이것이 코딩테스트다] 15일차 - 우선순위 큐 | 백준 카드정렬하기

힙(heaq) vs 리스트(list)

우선순위 큐 구현 방식	삽입시간	삭제시간
리스트	O(1)	O(N)
힙(heap)	O(logN)	O(logN)

개선된 다익스트라 알고리즘

단계마다 방문하지 않은 노드 중 최단거리가 가장 짧은 노드를 선택하기 위해 힙 자료구조를 사용

다익스트라 기존 알고리즘 원리는 동일하며 

• 가장 가까운 노드를 저장해놓기 위해 힙 자료구조를 추가적으로 사용하는 점이 다르다
• 현재의 최단거리가 가장 짧은 노드를 선택해야 하므로 최소힙을 사용한다
• 우선순위 큐에서 원소를 꺼내 최단 경로를 업데이트 하고 갱신된 거리를 다시 우선순위 큐에 삽입한다 

개선된 다익스트라 알고리즘 특징

• 이전과 비교하여 get_smallest_node() 함수를 작성할 필요 없음
• 시간복잡도 O(ElogV) (= O(logV))  // E = 간선 개수, V = 노드 개수 
  • 노드를 하나씩 꺼내 최소거리를 업데이트 할지 안할지 -> 최대 노드의 개수만큼만 수행
  • 꺼낸 노드에서 다른 노드까지의 거리를 확인하는 횟수 -> 최대 간선의 개수만큼만 수행
• 직관적으로는 모든 경로를 (E) 모두 우선순위 큐에 넣었다가 빼는 연산과 유사함 -> O(ElogE)
• 이때 중복간선을 포함하지 않는경우 -> 오고, 가는 간선만 있는경우 시간복잡도는 O(ElogV)

  

개선된 다익스트라 알고리즘 소스코드

import heapq
import sys
input = sys.stdin.readline
INF = int(1e9) #무한을 의미하는 값으로 10억을 설정

#노드의 개수, 간선의 개수를 입력받기
n,m = map(int, input().split())

#시작 노드 번호를 입력받기
start = int(input())

#각 노드에 연결되어 있는 노드에 대한 정보를 담는 리스트를 만들기
graph = [[] for i in range(n + 1)]

#최단 거리 테이블을 모두 무한으로 초기화
distance = [INF] * (n+1)

#모든 간선 정보를 입력받기
for _ in range(m):
  a, b, c = map(int, input().split())
  # a번 노드에서 b번 노드로 가는 비용이 c라는 의미
  graph[a].append((b,c))

def dijkstra(start):
  q = []

  #시작 노드로 가기 위한 최단 경로는 0으로 설정하여, 큐에 삽입
  heapq.heappush(q, (0, start))
  distance[start] = 0

  while q: #이렇게 쓰는거 자체가 큐가 비어있지 않을때까지 반복을 돌게 해준다. 
    #가장 거리가 짧은 노드에 대한 정보 꺼내기 
    dist, now = heapq.heappop(q)
    #현재 노드가 이미 처리된 적이 있는 노드라면 무시
    if distance[now] < dist:
      continue
    #현재 노드와 연결된 다른 인접한 노드들을 확인
    for i in graph[now]:
      cost = dist + i[1]
      #현재 노드를 거쳐서, 다른 노드로 이동하는 거리가 더 짧은 경우
      if cost < distance[i[0]]:
        distance[i[0]] = cost
        heapq.heappush(q, (cost, i[0]))

#다익스트라 알고리즘
dijkstra(start)

#모든 노드로 가기 위한 최단 거리를 출력
for i in range(1, n+1):
  #도달할 수 없는 경우, 무한(INFINITY)이라고 출력
  if distance[i] == INF:
    print("INFINITY")
  else:
    print(distance[i])

플로이드 워셜 알고리즘

• 모든 노드에서 다른 모든 노드까지의 최단 경로를 모두 계산
• 다익스트라 알고리즘과 마찬가지로 단계별로 거쳐 가는 노드를 기준으로 알고리즘 수행
  • 이때 단계마다 방문하지 않은 노드를 찾는 과정이 생략됨
• 2차원 테이블에 최단거리 정보를 저장
• 다이나믹 프로그래밍 유형에 속함 ( 점화식에 맞게 3중 반복문을 사용 )
• 시간 복잡도 O(N^3) -> 노드의 개수가 적을때 효과적으로 사용
  • 노드의 개수가 N개일때 알고리즘상 N번의 단계를 수행, 각 단계마다 O(N^2)의 연산 
  • 노드의 개수가 500이하일때 사용, 500이어도 3중 반복문 시행시 연산 횟수가 많아져 시간 초과 판정을 받을수 있음
  • 노드, 간선의 개수가 많은 경우 일반적으로 다익스트라 알고리즘을 사용하여 문제를 해결

플로이드 워셜 알고리즘 동작 과정

• 점화식
  • 각 단계마다 특정 노드 k를 거쳐 가는 경우를 확인
  • a->b 보다 a->k -> b가 더 짧은지 검사

• 동작 예시 두번째 동작을 노드별로 반복 

플로이드 워셜 알고리즘 소스코드

INF = int(1e9) #무한을 의미하는 값으로 10억을 설정

#노드의 개수 및 간선의 개수를 입력받기
n = int(input())
m = int(input())

#2차원 리스트(그래프 표현)
graph = [[INF] * (n + 1) for _ in range(n + 1)]

#자기 자신에서 자기 자신으로 가는 비용은 0으로 초기화
for a in range(1, n + 1):
  for b in range(1, n+1):
    if a == b:
      graph[a][b] = 0

#각 간선에 대한 정보를 입력받아, 그 값으로 초기화
for _ in range(m):
  #A에서 B로 가는 비용은 C라고 설정
  a, b, c = map(int, input().split())
  graph[a][b] = c

#점화식에 따라 플로이드 워셜 알고리즘 수행
for k in range(1, n+1):
  for a in range(n + 1):
    for b in range(1, n+1):
      graph[a][b] = min(graph[a][b], graph[a][k] + graph[k][b])

for a in range(1, n+1):
  for b in range(1, n+1):
    #도달 할 수 없는 경우, 무한이라고 출력
    if graph[a][b] == INF:
      print("무한", end=" ")
    #도달할 수 있는 경우 거리를 출력
    else:
      print(graph[a][b], end=" ")

  print()