[이것이 코딩테스트다] 25일차 - 그래프이론(2)

본문은 [이것이 취업을 위한 코딩테스트다 - 나동빈] 책을 공부하고 작성한 글입니다.

Chapter 10 그래프이론

해당 글의 모든 사진자료는 아래 강의에서 가져온것입니다.

신장트리

그래프에서 모든 노드를 포함하면서 사이클이 존재하지 않는 부분 그래프(트리의 조건과 동일)

신장트리 문제 예시 

- 최소한의 비용으로 구성되는 신장트리를 찾아야하는 경우

ex. N개의 도시가 존재하는 상황에서 두 도시 사이에 도로를 놓아 전체 도시가 서로 연결될 수 있게 도로를 설치하는 경우 

 

최소신장 트리를 찾기위한 알고리즘 - 크루스칼 알고리즘

 

크루스칼 알고리즘

대표적인 최소 신장 트리 알고리즘으로 그리디 알고리즘으로 분류됨

 

동작 과정

1. 간선 데이터를 비용에따라 오름차순으로 정렬
2. 간선을 하나씩 확인하며 현재의 간선이 사이클을 발생시키는지 확인
   1. 사이클 발생 X -> 최소신장트리에 포함  (Union 연산)
   2. 사이클 발생 O -> 최소신장트리에 포함 X
3. 모든 간선에 대해 2번과정 반복

다음 과정을 반복

(6,7) 간선의 경우 사이클이 발생하기때문에 신장트리에 포함하지 않는다 

(2,3) 간선의 경우에도 이미 연결된 이미 같은 집합에 포함 되어있기 때문에 신장트리에 포함하지 않는다 

 

크루스칼 알고리즘 소스코드

# 특정 원소가 속한 집합을 찾기
def find_parent(parent, x):
    # 루트 노드가 아니라면, 루트 노드를 찾을 때까지 재귀적으로 호출
    if parent[x] != x:
        parent[x] = find_parent(parent, parent[x])
    return parent[x]

# 두 원소가 속한 집합을 합치기
def union_parent(parent, a, b):
    a = find_parent(parent, a)
    b = find_parent(parent, b)
    if a < b:
        parent[b] = a
    else:
        parent[a] = b

# 노드의 개수와 간선(Union 연산)의 개수 입력 받기
v, e = map(int, input().split())
parent = [0] * (v + 1) # 부모 테이블 초기화하기

# 모든 간선을 담을 리스트와, 최종 비용을 담을 변수
edges = []
result = 0

# 부모 테이블상에서, 부모를 자기 자신으로 초기화
for i in range(1, v + 1):
    parent[i] = i

# 모든 간선에 대한 정보를 입력 받기
for _ in range(e):
    a, b, cost = map(int, input().split())
    # 비용순으로 정렬하기 위해서 튜플의 첫 번째 원소를 비용으로 설정
    edges.append((cost, a, b))

# 간선을 비용순으로 정렬
edges.sort()

# 간선을 하나씩 확인하며
for edge in edges:
    cost, a, b = edge
    # 사이클이 발생하지 않는 경우에만 집합에 포함
    if find_parent(parent, a) != find_parent(parent, b):
        union_parent(parent, a, b)
        result += cost

print(result)

크루스칼 알고리즘 분석

• 간선의 개수가 E개일 때, 시간복잡도 O(ElogE)를 가짐
• 가장 많은 시간이 소요되는 구간은 간선을 정렬하는 부분
  • 표준 라이브러리를 사용하는 경우 E개의 테이터를 정렬하기 위한 시간 복잡도는 O(ElogE)이다

위상정렬

사이클이 없는 방향 그래프에 모든 노드를 방향성에 거스르지 않도록 순서대로 나열하는 것

ex. 선수과목을 고려한 학습 순서 설정

세 과목을 모두 듣기 위한 적절한 학습 순서는

• 자료구조 - 알고리즘 - 고급 알고리즘 (O)
• 자료구조 - 고급 알고리즘 - 알고리즘 (X)

진입차수와 진출차수

• 진입차수 (Indegree): 특정한 노드로 들어오는 간선의 개수
• 진출차수 (Outdegree): 특정한 노드에서 나가는 간선의 개수

위상정렬 알고리즘 동작 과정

큐를 이용한 위상정렬 알고리즘의 동작과정

1. 진입차수가 0인 모든 노드를 큐에 삽입
2. 큐가 빌때까지 다음 과정 반복
   1. 큐에서 원소를 꺼내 해당 노드에서 나가는 간선을 그래프에서 제거
   2. 새롭게 진입차수가 0이 된 노드를 큐에 삽입

이때 큐에 들어온 순서 = 위상정렬을 수행한 결과

 

위상정렬 동작 예시

* 위상 정렬을 수행할 그래프는 사이클이 없는 방향 그래프(DAG)여야한다 

    사이클에 포함 된 모든 노드의 진입차수가 1이 되어 큐에 삽입 할 수 없게 되기 때문

큐 삽입 순서 상관 없지만 작은 수를 가지는 노드가 먼저 들어간다고 가정

위 과정 반복

위상정렬 결과 

큐에 삽입된 전체 노드 순서: 1 - 2 - 5 - 3 - 6 - 4 - 7

 

위상정렬 특징

• 위상정렬은 DAG(순환하지 않는 방향 그래프)에 대해서만 수행 할 수 있다
• 여러가지 정답이 존재할 수 있다
  • 진입차수가 0인 노드가 여러개일 경우 이를 삽입하는 순서에 따라 결과가 상이
• 모든 원소를 방문하기 전에 큐가 빈다면 -> 사이클이 있는 그래프

위상정렬 알고리즘 소스코드 

from collections import deque

# 노드의 개수와 간선의 개수를 입력 받기
v, e = map(int, input().split())
# 모든 노드에 대한 진입차수는 0으로 초기화
indegree = [0] * (v + 1)
# 각 노드에 연결된 간선 정보를 담기 위한 연결 리스트 초기화
graph = [[] for i in range(v + 1)]

# 방향 그래프의 모든 간선 정보를 입력 받기
for _ in range(e):
    a, b = map(int, input().split())
    graph[a].append(b) # 정점 A에서 B로 이동 가능
    # 진입 차수를 1 증가
    indegree[b] += 1

# 위상 정렬 함수
def topology_sort():
    result = [] # 알고리즘 수행 결과를 담을 리스트
    q = deque() # 큐 기능을 위한 deque 라이브러리 사용

    # 처음 시작할 때는 진입차수가 0인 노드를 큐에 삽입
    for i in range(1, v + 1):
        if indegree[i] == 0:
            q.append(i)

    # 큐가 빌 때까지 반복
    while q:
        # 큐에서 원소 꺼내기
        now = q.popleft()
        result.append(now)
        # 해당 원소와 연결된 노드들의 진입차수에서 1 빼기
        for i in graph[now]:
            indegree[i] -= 1
            # 새롭게 진입차수가 0이 되는 노드를 큐에 삽입
            if indegree[i] == 0:
                q.append(i)

    # 위상 정렬을 수행한 결과 출력
    for i in result:
        print(i, end=' ')

topology_sort()

위상정렬 알고리즘 분석

• 차례대로 모든 노드를 확인하며 각 노드에서 나가는 간선을 차례대로 제거해야한다
  • 위상 정렬 알고리즘의 시간복잡도는 O(V+E)